Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x．
（1）求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-4x，x∈[-3，2]，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可；（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2x+1≥0，
故f（x）在[-1，2]遞增，
f（x）_max=f（2）=$\frac{2}{3}$，f（x）_min=f（-1）=-$\frac{1}{3}$；
（2）g（x）=f（x）-4x=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，x∈[-3，2]，
g′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
令g′（x）＞0，解得：x＜-1，令g′（x）＜0，解得：x＞-1，
故g（x）在[-3，-1]遞增，在[-1，2]遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．