Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，地面ABCD為矩形，側(cè)面SAD為邊長(zhǎng)2的正三角形，且面SAD⊥面ABCD．AB=

2

，E、F分別為AD、SC的中點(diǎn)；
（1）求證：BD⊥SC；
（2）求四面體EFCB的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：立體幾何

分析：（1）要證先線線垂直，只需要證明線面垂直，需要證明線線垂直和面面垂直．
（2）因?yàn)閂_F-EBD=

1

2

V_S-EBC，只要求出V_S-EBC，根據(jù)體積公式，分別求出底面積和高即可．

解答： （1）證明：連接BD，設(shè)BD∩CE=O

易證：△CDE∽△BCD
∴∠DBC=∠ECD
∵∠DBC+∠BDC=90°
∴∠ECD+∠BDC=90°
∴∠COD=90°
∴BD⊥CE
∵△SAD為正三角形，E為AD中點(diǎn)
∴SE⊥AD
又∵面SAD⊥面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD
∴SE⊥面ABCD
∵BD?面ABCD
∴SE⊥BD
∵BD⊥CE，SE⊥BD，CE∩SE=E，
∴BD⊥面SEC  SC?面SEC
∴BD⊥SC
（2）解：∵F為SC中點(diǎn)
∴V_F-EBD=

1

2

V_S-EBC
連接SE，面SAD⊥面ABCD
∵△SAD為正三角形
∴SE⊥AD又
∵面SAD⊥面ABCD
∴SE⊥面ABCD   SE=

3

    S_△EBC=

1

2

×2×

2

=

2

∴V_F-EBD=

1

2

V_S-EBD=

1

2

×

1

3

×

2

×

3

=

6

6

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查了面面、線面、線線垂直，考查三棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面垂直，同時(shí)考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．