Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，P是圖象的最髙點，Q是圖象的最低點，M是線段PQ與x軸的交點，且cos∠POM=

5

5

，|OP|=

5

，|PQ|=4

2

（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移2個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，試求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）圖象的對稱軸方程．

Answer 1

考點：余弦定理,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），根據(jù)cos∠POM的值求出sin∠POM的值，以及|OP|的長，利用任意角的三角函數(shù)定義求出x與y的值，確定出P坐標(biāo)，得到A的值，由三角函數(shù)性質(zhì)得到P，Q關(guān)于M對稱，求出|PM|的長，設(shè)|OM|=m，利用余弦定理列出關(guān)系式求出m的值，確定出M坐標(biāo)，進而求出函數(shù)的最小正周期，確定出ω的值，即可確定出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）由y=f（x）利用平移規(guī)律得到y(tǒng)=g（x）解析式，進而確定出h（x）解析式，利用余弦函數(shù)的對稱性即可求出h（x）對稱軸方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由cos∠POM=

5

5

，得到sin∠POM=

2 5

5

，且|OP|=

5

，
∴

y |OP| =sin∠POM x |OP| =cos∠POM

，
解得：

x=1 y=2

，
∴P（1，2），即A=2，
由三角函數(shù)性質(zhì)得到P，Q關(guān)于點M對稱，
∴|PM|=2

2

，
設(shè)|OM|=m，由余弦定理得：|OM|²+|OP|²-2|OM||OP|cos∠POM=|PM|²，
即m²-2m-3=0，
解得：m=3或m=-1（舍去），即M=（3，0），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=4×（3-1）=8，即

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

，
將P（1，2）代入函數(shù)f（x）=2sin（

π

4

x+φ），得：sin（

π

4

+φ）=1，
∵0＜φ＜

π

2

，∴

π

4

＜

π

4

+φ＜

3π

4

，
∴

π

4

+φ=

π

2

，即φ=

π

4

，
則函數(shù)y=f（x）的解析式為2sin（

π

4

x+

π

4

）；
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移2個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴y=g（x）=f（x-2）=2sin（

π

4

x-

π

4

），
∴h（x）=4sin（

π

4

x+

π

4

）sin（

π

4

x-

π

4

）=2（sin²

π

4

x-cos²

π

4

x）=-2cos

π

2

x，
令

π

2

x=kπ（k∈Z），得到x=2k（k∈Z），
則函數(shù)h（x）的對稱軸方程是x=2k（k∈Z）．

點評：此題考查了余弦定理，任意角的三角函數(shù)定義，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及平移規(guī)律，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．