Question

傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{b_n}，可以推測：b₂₀₁₃是數(shù)列{a_n}中的第

 

項．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：計算題,推理和證明

分析：由題設(shè)條件及圖可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此遞推式可以得出數(shù)列{a_n}的通項為a_n=

n(n+1)

2

，由此可列舉出三角形數(shù)1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，從而可歸納出可被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除，由此規(guī)律即可求出結(jié)論．

解答： 解：由前四組可以推知a_n=

n(n+1)

2

，
由此知，三角數(shù)依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知可被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除，
第2k-1個被5整除的數(shù)出現(xiàn)在第k組倒數(shù)第二個，故它是數(shù)列{a_n}中的第k×5-1=5k-1項，所以5×1007-1=5034
故答案為：5034．

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的表示及歸納推理，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)得出相鄰兩個三角形數(shù)的遞推關(guān)系，由此列舉出三角形數(shù)，得出結(jié)論“被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除”，本題綜合性強(qiáng)，有一定的探究性，是高考的重點題型，解答時要注意總結(jié)其中的規(guī)律．