Question

若xe^x≥mx-e對?x∈R恒成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：對x分類討論，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵xe^x≥mx-e，
當x=0時，對于m取任何值，0＞-e恒成立，
當x＞0時，m≤ex+

e

x

恒成立，
設f（x）=ex+

e

x

，
則f′（x）=e^x-

e

x2

，
令f′（x）=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
故當x=1時，f（x）有最小值，最小值為f（1）=2e，
∴m≤2e，
當x＜0時，m≥ex+

e

x

恒成立，
設g（x）=ex+

e

x

，
則g′（x）=e^x-

e

x2

＜0，
∴g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，
當x趨向于-∞時，g（x）趨向于0，
故g（x）越來越與x軸靠近，
∴m≥0，
綜上所述，m的取值范圍是[0，2e]
故答案為[0，2e]

點評：本題考查了利用導研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．