Question

17．設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0且g（3）=0，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　�。�

• A． （-∞，-3）∪（0，3）
• B． （-3，0）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（-3，0）
• D． （0，3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）g（x），利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而即可得出不等式的解集．

解答 解：令h（x）=f（x）g（x），則h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），因此函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)．
∵當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
∴h（x）在x＜0時(shí)單調(diào)遞增，
故函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．
∵g（3）=0，
∴g（-3）=g（3）=0，
∵h(yuǎn)（-3）=f（-3）g（-3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），
∴x＜-3．
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)，可知：h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0的解集為（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵時(shí)構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．