Question

16．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂都在x軸上，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}=2$，則正數(shù)m的值為4．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂都在x軸上，得m＞3，正弦定理得：$\frac{|P{F}_{2}|+|P{F}_{1}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=2，由此能求出m．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂都在x軸上，∴m＞3，
∵P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}=2$，
∴由正弦定理得：$\frac{|P{F}_{2}|+|P{F}_{1}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=2，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{m-3}}{\sqrt{m}}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正數(shù)值的求法，考查橢圓、離心率、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．