6．已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{2009}{1-sinx}$的最小值為2010+2$\sqrt{2009}$．

分析 由0＜x＜$\frac{π}{2}$得，0＜sinx＜1，1-sinx＞0，然后進行等量代換，即把解析式中的1換為sinx+1-sinx，然后利用基本不等式求出最小值．

解答 解：由0＜x＜$\frac{π}{2}$得，0＜sinx＜1，1-sinx＞0，
∴f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{2009}{1-sinx}$=$\frac{1-sinx+sinx}{sinx}$+2009×$\frac{sinx+1-sinx}{1-sinx}$=2010+$\frac{1-sinx}{sinx}$+$\frac{2009sinx}{1-sinx}$≥2010+2$\sqrt{\frac{1-sinx}{sinx}•\frac{2009sinx}{1-sinx}}$=2010+2$\sqrt{2009}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1-sinx}{sinx}$=$\frac{2009sinx}{1-sinx}$取等號，
故答案為：2010+2$\sqrt{2009}$．

點評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

練習(xí)冊系列答案
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16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x＜2}\\{4-\sqrt{x-1}，x≥2}\end{array}\right.$，則f（$\frac{1}{f（10）}$）=-1．

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18．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥0}\\{x-y≤0}\\{x-2y+2≥0}\end{array}\right.$，則z=2x-y的最小值等于-$\frac{5}{2}$．

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15．已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+2．
（1）若a=-12，b=-2，求不等式 f（x）＞0的解集；
（2）當(dāng)b=-1時，若不等式f（x）＜0解集為∅，求a的取值范圍．

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16．已知$α，β均為銳角，α＞β，且cos（α+β）=-\frac{4}{5}，sin（α-β）=\frac{5}{13}$．
求cos2β的值．

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