Question

已知函數(shù)f（x）＝lnx＋ax2－（a＋1）x（a∈R）.

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為－2，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）若對(duì)?x1，x2∈（0，＋∞），x1＜x2，且f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）a＝2；（3）0≤a≤4

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，找出切線斜率及切點(diǎn)坐標(biāo)，可寫出切線方程；（2）利用導(dǎo)函數(shù)，找到函數(shù)在[1，e]上的最小值點(diǎn)，討論最小值等于－2的各種情況，求出a的值；（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）＝f（x）＋x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增求解.

試題解析：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，. 1分

因?yàn)閒 '（1）＝0，. 1分

1分

所以切線方程為 1分

（2）函數(shù)的定義域是.

當(dāng)a＞0時(shí)，

令f '（x）＝0，即，

所以x＝1或. 1分

①當(dāng)，即a≥1時(shí)，f（x）在［1，e]上單調(diào)遞增，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是，解得； 1分

②當(dāng)時(shí)，f（x）在［1，e]上的最小值是，即

令，， 1分

可得：，

而，，不合題意，舍去； 1分

③當(dāng)時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是，

解得，不合題意，舍去. 1分

綜上：a＝2. 1分

（3）設(shè)g（x）＝f（x）＋x，則，

只要g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增即可. 1分

而

當(dāng)a＝0時(shí)，，此時(shí)g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增； 1分

當(dāng)a≠0時(shí)，只需g'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，

因?yàn)閤∈（0，＋∞），只要ax2－ax＋1≥0，

則需要a＞0， 1分

對(duì)于函數(shù)y＝ax2－ax＋1，過定點(diǎn)（0，1），對(duì)稱軸，只需，

即0＜a≤4. 綜上0≤a≤4. 1分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題