Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^xcosx，記f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f′₁（x）），f₃（x）=f′₂（x）），…，則f_n+1（x）=f′_n（x）（n∈N₊），則f₂₀₁₅（x）等于（　　）

• A． 2¹⁰⁰⁷e^xsinx
• B． -2¹⁰⁰⁸e^xcosx
• C． 2¹⁰⁰⁶e^x（sinx-cosx）
• D． 2¹⁰⁰⁷e^x（sinx+cosx）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的規(guī)律性，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=e^xcosx，
（e^x）′=e^x，（e^x）^″=e^x，…，（e^x）^（n）=e^x，表示e^x的n次導(dǎo)數(shù)．
cos′x=-sinx，cos^″x=-cosx，…，cos^（n）x=$cos（x+\frac{nπ}{2}）$．
∴f₁（x）=f′（x）=e^x（cosx-sinx），
f₂（x）=f₁′（x）=cosxe^x-sinxe^x-sinxe^x-cosxe^x=-2e^xsinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-2e^x（cosx+sinx），
f₄（x）=${f}_{3}^{′}$（x）=-2²e^xcosx，
f₅（x）=${f}_{4}^{′}（x）$=-2²e^x（cosx-sinx），
f₆（x）=${f}_{5}^{′}（x）$=2³e^xsinx．
…
當(dāng)n=2015時(shí)，f₂₀₁₅（x）=f₂₀₁₄′（x）=2¹⁰⁰⁷e^xsinx．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式，得到導(dǎo)數(shù)的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．