Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積為$\frac{9}{4}$，底面是邊長為$\sqrt{3}$．若P為底面ABC的中心，則PA₁與平面BB₁P所成角的正切值大小為（　�。�

• A． $\frac{1}{36}$
• B． $\frac{3}{109}$
• C． $\frac{{\sqrt{39}}}{13}$
• D． $\frac{1}{18}$

Answer 1

分析 延長BP交AC于O，取A₁C₁中點D，連接OD，容易得到BO，OC，OD三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，而根據(jù)條件可求出向量$\overrightarrow{P{A}_{1}}，\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)．并可說明$\overrightarrow{OC}$為平面BB₁P的法向量，設(shè)直線PA₁和平面BB₁P所成角為θ，由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{P{A}_{1}}，\overrightarrow{OC}＞|$求出sinθ，從而可得出tanθ．

解答 解：如圖，延長BP交AC于O，則BO⊥AC，取A₁C₁中點D，連接OD，則BO，OC，OD三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系；
根據(jù)條件，∴${S}_{△}ABC=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}•OD=\frac{9}{4}$，$OD=\sqrt{3}$；
∴可求以下幾點坐標(biāo)：
P（$-\frac{1}{2}，0，0$），${A}_{1}（0，-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$，$C（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$；
∴$\overrightarrow{P{A}_{1}}=（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{OC}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）；
BB₁⊥平面ABC，OC?平面ABC；
∴OC⊥BB₁；
又OC⊥BO，BO∩BB₁=B；
∴OC⊥平面BB₁P；
∴$\overrightarrow{OC}$為平面BB₁P的法向量，設(shè)直線PA₁和平面BB₁P所成角為θ，則：
$sinθ=|cos＜\overrightarrow{P{A}_{1}}，\overrightarrow{OC}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{P{A}_{1}}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{\frac{3}{4}}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴cosθ=$\frac{\sqrt{13}}{4}$；
∴$tanθ=\frac{\sqrt{39}}{13}$；
∴PA₁與平面BB₁P所成角的正切大小為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
故選：C．

點評 考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角問題的方法，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，平面法向量的概念，弄清直線和平面所成角與直線的方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系．