Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx-x，x＞0}\\{-ln（-x）+x，x＜0}\end{array}\right.$，則關于m的不等式f（$\frac{1}{m}$）＜ln$\frac{1}{2}-2$的解集為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，2）
• C． （-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 可判斷f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，再由函數的單調性解不等式．

解答 解：當x＞0時，f（-x）=-ln（-（-x））-x=-lnx-x=f（x），
故f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數；
當x＞0時，f（x）=-lnx-x為減函數，
而ln$\frac{1}{2}-2$=-ln2-2=f（2），
故f（$\frac{1}{m}$）＜ln$\frac{1}{2}-2$=f（2），
故$\frac{1}{m}$＞2，
故0＜m＜$\frac{1}{2}$；
由f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數知，
-$\frac{1}{2}$＜m＜0；
綜上所述，m∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$），
故選C．

點評 本題考查了分段函數的性質的判斷與應用，同時考查了分類討論的思想方法應用．