Question

【題目】已知函數(shù)（a為負(fù)整數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上解集非空，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）證明：方程有且僅有一個(gè)解．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（3）見解析﹔

【解析】

（1）在中令得，故，因?yàn)?/span>為負(fù)整數(shù)，所以為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，利用判別式可判斷此不等式無(wú)解，所以，解得，從而可得的解析式；

（2）在，上解集非空轉(zhuǎn)化為在，上有解，再構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最小值可得；（3）即證與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，證明時(shí)，與的圖象無(wú)交點(diǎn)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即得證.

（1）在中令得，

，

因?yàn)?/span>為負(fù)整數(shù)，所以為正整數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椤?/span>，所以

無(wú)解，

所以，解得或，所以，

，

（2）在，上解集非空在，上有解，

令，則，

因?yàn)楹瘮?shù)在，上是減函數(shù)，

所以時(shí)，（3），

故．

（3）證明：即證與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

即時(shí)，與的圖象無(wú)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，令，

因?yàn)楹瘮?shù)在上為遞減函數(shù)，函數(shù)在上為遞減函數(shù)，

所以在上為遞減函數(shù)（減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)），

又時(shí)，，時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知：在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上得有且只有一個(gè)解．