Question

19．已知三棱柱ABC-A′B′C′的6個頂點都在球O的球面上，若$AB=1，AC=\sqrt{3}$，AB⊥AC，$AA'=2\sqrt{3}$，則球O的直徑為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 通過球的內接體，說明幾何體的側面對角線是球的直徑，即可得出結論．

解答 解：因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6個頂點都在球O的球面上，若$AB=1，AC=\sqrt{3}$，AB⊥AC，$AA'=2\sqrt{3}$，
所以三棱柱的底面是直角三角形，側棱與底面垂直，
△ABC的外心是斜邊的中點，上下底面的中心連線垂直底面ABC，其中點是球心，
即側面B₁BCC₁，經過球的球心，球的直徑是側面B₁BCC₁的對角線的長，
因為$AB=1，AC=\sqrt{3}$，BC=2，BC₁=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
所以球的直徑為：4．
故選：D．

點評 本題考查球的內接體與球的關系，球的直徑的求解，考查計算能力，正確轉化是關鍵．