Question

17．手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時間稱為手機的待機時間．為了解A，B兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取A，B兩個型號的手機各7臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結果如下：

手機編號	1	2	3	4	5	6	7
A型待機時間（h）	120	125	122	124	124	123	123
B型待機時間（h）	118	123	127	120	124	a	b

其中，a，b是正整數(shù)，且a＜b
（Ⅰ）該賣場有56臺A型手機，試估計其中待機時間不少于123小時的臺數(shù)；
（Ⅱ）從A型號被測試的7臺手機中隨機抽取4臺，記待機時間大于123小時的臺數(shù)為X，求X 的分布列；
（Ⅲ）設A，B兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等，當B型號被測試手機待機時間的方差最小時，寫出a，b的值（結論不要求證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）被檢測的7臺手機中有5臺的待機時間不少于123小時⇒估計56臺A型手機中有$56×\frac{5}{7}=40$臺手機的待機時間不少于123小時．
（II）由表格可知，A型號被測試的7臺手機中待機時間大于123小時的臺數(shù)為有3臺，利用超幾何分布概率計算法則，求解概率．
（Ⅲ）由A，B兩個型號被測試手機的待機時間的平均值相等，列方程，求出a，b．

解答 解：（Ⅰ）被檢測的7臺手機中有5臺的待機時間不少于123小時，因此，估計56臺A型手機中有$56×\frac{5}{7}=40$臺手機的待機時間不少于123小時．
（Ⅱ）X可能的取值為0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{1}{C_7^4}=\frac{1}{35}$；$P（X=1）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$；$P（X=2）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$；$P（X=3）=\frac{C_4^3}{C_7^4}=\frac{4}{35}$．
所以，X 的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

（Ⅲ）若A，B兩個型號被測試手機的待機時間的平均值相等，當B型號被測試手機的待機時間的方差最小時，a=124，b=125．

點評 本題考查了抽樣方法的基本性質，及古典概型的分布列、期望，屬于基礎題．