Question

8．用數(shù)學(xué)歸納法證明$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^n}＜F（n）$時(shí)，由n=k不等式成立，證明n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是2^k．

Answer 1

分析 比較由n=k變到n=k+1時(shí)，左邊變化的項(xiàng)，即可得出結(jié)論．

解答 解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+$\frac{1}{2}$++…+$\frac{1}{{2}^{n}}$＜f（n）”時(shí)，
當(dāng)n=k時(shí)，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1++$\frac{1}{2}\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
∴由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊增加了共2^k+1-2^k=2^k項(xiàng)，
故答案為：2^k．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查觀察、推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．