Question

13．函 數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+1}$（n∈N^*，y≠1）的最大值為a_n，最小值為b_n且c_n=4（a_nb_n-$\frac{1}{2}$）
（1）求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求f（n）=$\frac{{c}_{n}}{（n+36）{c}_{n+1}}$（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為關(guān)于x的方程，由方程有解的條件：判別式不小于0，結(jié)合y²-（n+1）y+n-$\frac{1}{4}$=0的兩根為b_n，a_n，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得f（n），令4n-3=t（t≥1且t為正整數(shù)），可得n=$\frac{t+3}{4}$，化為t的關(guān)系式，再由基本不等式和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合n為整數(shù)，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由已知，y=$\frac{{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+1}$（n∈N^*，y≠1）的定義域?yàn)镽，
則x²（y-1）+x+y-n=0方程有解，
即有△≥0即1-4（y-1）（y-n）≥0，
即y²-（n+1）y+n-$\frac{1}{4}$≤0的解集[b_n，a_n]，
即y²-（n+1）y+n-$\frac{1}{4}$=0的兩根為b_n，a_n，
可得a_nb_n=n-$\frac{1}{4}$，
又因?yàn)閏_n=4（a_nb_n-$\frac{1}{2}$），
則c_n=4n-3，n∈N^*；
（2）f（n）=$\frac{{c}_{n}}{（n+36）{c}_{n+1}}$=$\frac{4n-3}{（n+36）（4n+1）}$
=$\frac{4n-3}{4{n}^{2}+145n+36}$，
令4n-3=t（t≥1且t為正整數(shù)），可得n=$\frac{t+3}{4}$，
則g（t）=$\frac{t}{\frac{（t+3）^{2}}{4}+\frac{145（t+3）}{4}+36}$
=$\frac{1}{t+\frac{588}{t}+151}$，
由t+$\frac{588}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{588}{t}}$=28$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{588}{t}$，可得t=14$\sqrt{3}$，
當(dāng)t=21時(shí)，n=6，t+$\frac{588}{t}$=49，
當(dāng)t=22，23，24時(shí)，n不為整數(shù)；
當(dāng)t=25時(shí)，n=7時(shí)，t+$\frac{588}{t}$=48+$\frac{13}{25}$；
則當(dāng)n=7時(shí)，g（t）取得最大值，
即f（n）取得最大值$\frac{1}{48+\frac{13}{25}+151}$=$\frac{25}{4988}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)列的最大值的求法，注意運(yùn)用基本不等式和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．