Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x
（Ⅰ）解不等式|f（x）|+|x²+2x|≥6|x|；
（Ⅱ）若實數(shù)a滿足|x-a|＜1，求證：|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式化為因式乘積的形式，利用絕對值不等式的幾何意義，求解即可．
（Ⅱ）直接利用因式分解，放縮法，絕對值的性質(zhì)，證明即可．

解答 （24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：（Ⅰ）原不等式|f（x）|+|x²+2x|≥6|x|可化為：（|x-2|+|x+2|）|x|≥6|x|；解得x≤-3或x≥3
，或x=0．
所以，原不等式的解集為{x|x≤-3或x≥3，或x=0}； …（5分）
（Ⅱ）證明：∵f（x）=x²-2x，|x-a|＜1，
∴|f（x）-f（a）|
=|x²-2x-a²+2a|
=|x-a||x+a-2|
＜|x+a-2|
=|（x-a）+2a-2|
≤|x-a|+|2a-2|
＜1+2|a|+2
=2|a|+3，
∴|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，不等式的證明，絕對值的幾何意義，考查邏輯推理能力以及計算能力．