Question

7．設(shè)拋物線C：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線被圓O：x²+y²=4所截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{15}$，
（1）求拋物線C的方程； 
（2）設(shè)點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，N為拋物線C上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N作拋物線C的切線交圓O于P、Q兩點(diǎn)，求△FPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用直線y=-$\frac{p}{2}$被圓O：x²+y²=4所截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{15}$，結(jié)合勾股定理，即可求出拋物線C的方程； 
（2）設(shè)N（t，$\frac{{t}^{2}}{2}$），圓心O到直線PQ的距離為$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，求出點(diǎn)F到直線PQ的距離，表示出△FPQ面積，利用配方法，可求△FPQ面積的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閽佄锞�C的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{p}{2}$，且直線y=-$\frac{p}{2}$被圓O：x²+y²=4所截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{15}$，
所以（$\frac{p}{2}$）²=4-（$\frac{\sqrt{15}}{2}$）²，解得p=1，因此拋物線C的方程為x²=2y；（4分）
（2）設(shè)N（t，$\frac{{t}^{2}}{2}$），由y′=x知直線PQ的方程為：y-$\frac{{t}^{2}}{2}$=t（x-t）．即y=tx-$\frac{{t}^{2}}{2}$．（6分）
因?yàn)閳A心O到直線PQ的距離為$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，所以|PQ|=2$\sqrt{4-\frac{{t}^{4}}{4（1+{t}^{2}）}}$，（7分）
設(shè)點(diǎn)F到直線PQ的距離為d，則d=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{t}^{2}}$，（ 8分）
所以，△FPQ的面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-{t}^{4}+16{t}^{2}+16}$=$\frac{1}{4}\sqrt{-（{t}^{2}-8）^{2}+80}$≤$\frac{1}{4}\sqrt{80}$=$\sqrt{5}$（11分）
當(dāng)t=$±2\sqrt{2}$時(shí)取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)直線PQ與圓O相交，滿足題意．
綜上可知，△FPQ的面積的最大值為$\sqrt{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查拋物線方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．