Question

AB為定圓的直徑，C為該圓上異于A，B的任一點，l為過C點的圓的切線，過B引BP⊥l，且交AC的延長線于P，求點P的軌跡．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如下圖所示，以圓心O為原點，AB所在的直線為x軸，建立坐標(biāo)系，則定圓方程為x2+y2=r2． (因為C是動點，點P因點C動而動，故可)設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，C點坐標(biāo)為(x1，y1)．(P點是直線AC，BP的交點，所以P點受直線AP和BP的制約，因此建立直線AP與BP的方程，來確定P點與C點坐標(biāo)之間的關(guān)系式．) 因為C點不與點A，B重合，所以≠0，由過C點的切線l的方程為x+y=，直線BP⊥l，所以y1x－x1y－y1r=0①，再由點P在直線AC上，最后可得： (x－r) 2+y2=4r2 (y≠0)即為所求P點的軌跡方程，其軌跡要除去x軸上的兩個點．   解法二：因為BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP．因此|BP|=2|OC|=2r． 這說明當(dāng)點C運動時，動點P距定點B的距離總等于常數(shù)2r．根據(jù)定義可得到：P點軌跡是以點B(r，0)為圓心，以2r為半徑的圓．因為C點不與A，B點重合，所以y≠0，所以點P的軌跡方程為(x－r)2+y2=4r2 (y≠0)． <

提示：

本題特點是動點P隨著相關(guān)點C的運動而運動，如果能用動點P的坐標(biāo)(x，y)，表示相關(guān)點C的坐標(biāo)(x1，y1)，則按照相關(guān)點C所滿足的條件列出方程，就能得動點P的軌跡方程．這種方法通常稱為相關(guān)點法，在解析幾何中經(jīng)常用到，應(yīng)給予足夠的重視． <