Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，acosC=（2b-c）cosA
（1）求cosA的值；
（2）若a=6，b+c=8，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式及其誘導(dǎo)公式即可得出．
（2）利用余弦定理與三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）∵acosC=（2b-c）cosA，
由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA…（2分）
由兩角和的正弦公式得sin（A+C）=2sinBcosA…（4分）
由三角形的內(nèi)角和可得sinB=2sinBcosA…（5分）
因為sinB≠0，所以$cosA=\frac{1}{2}$…（6分）
（2）由余弦定理得：$36={b^2}+{c^2}-2bc×\frac{1}{2}={（{b+c}）^2}-3bc=64-3bc$，
∴$bc=\frac{28}{3}$，…（9分）
由（1）知$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（10分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{28}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}$．…1（2分）

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其誘導(dǎo)公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．