Question

4．對任意函數(shù)f（x），x∈D，可按如圖構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}．
（1）若定義函數(shù)f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$，且輸入x₀=$\frac{49}{65}$，請寫出數(shù)列{x_n}的所有項；
（2）若定義函數(shù)f（x）=2x+3，且輸入x₀=-1，求數(shù)列{x_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推導(dǎo)出數(shù)列{x_n}只有三項x1=$\frac{11}{19}$，x2=$\frac{1}{5}$，x3=-1．
（2）f（x）=2x+3的定義域為R，若x₀=-1，則x₁=1，則x_n+1+3=2（x_n+3），從而得到數(shù)列{x_n+3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{x_n}的通項公式．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），…（1分）
把x₀=$\frac{49}{65}$代入可得x1=$\frac{11}{19}$，把x1=$\frac{11}{19}$代入可得x2=$\frac{1}{5}$，把x2=$\frac{1}{5}$代入可得x₃=-1，
因為x₃=-1∉D，
所以數(shù)列{x_n}只有三項：x1=$\frac{11}{19}$，x2=$\frac{1}{5}$，x3=-1．…（4分）
（2）f（x）=2x+3的定義域為R，…（6分）
若x₀=-1，則x₁=1，
則x_n+1=f（x_n）=2x_n+3，
所以x_n+1+3=2（x_n+3），…（8分）
所以數(shù)列{x_n+3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以xn+3=4•2n-1=2n+1，
所以xn=2n+1-3，
即數(shù)列{x_n}的通項公式xn=2n+1-3．                    …（10分）

點評 本題考查數(shù)列的所有項的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬于中檔題．