Question

【題目】已知以為焦點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且.

（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將代入拋物線方程，求得的值，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得的值；

（2）方法一：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的縱坐標(biāo)，利用拋物線的“點(diǎn)差法”求得直線的斜率，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得直線的方程；

方法二：設(shè)直線的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得直線的方程．

解：（1）將代入拋物線方程，得，

所以的方程為，焦點(diǎn)，

設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，可得．

（2）方法一：設(shè)，，，，，，

由．可得，，，所以，

所以直線的斜率存在且斜率，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，

整理得，

△，可得，

則，，，

所以，

解得，（舍，

所以直線的方程為．

方法二：設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，，，，，

聯(lián)立方程組，消去，

整理得，△，

則，，

則，

則，，由．

得，，，所以，

所以直線的方程為，

由△，可得，

由，得，

所以，

解得或，（舍去）

所以直線的方程為．