Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），且在x=-2取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將M的坐標(biāo)代入f（x）的解析式，得到關(guān)于a，b的一個(gè)等式；求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f′（1）=-2，列出關(guān)于a，b的另一個(gè)等式，解方程組，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，據(jù)題意知（m，m+1）⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端點(diǎn)的大小，求出m的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），
∴a+b=4    ①式 
f′（x）=3ax²+2bx，
則f′（-2）=0，即-6a+2b=0    ②式
由①②式解得a=1，b=3；
（2）f（x）=x³+3x²，f′（x）=3x²+6x，
令f'（x）=3x²+6x≥0得x≥0或x≤-2，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上單調(diào)遞增
∴（m，m+1）⊆（-∞，-2]∪[0，+∞）
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3．

點(diǎn)評(píng) 注意函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率；屬于中檔題．