Question

3．已知函數f（x）=ax³+bx²的圖象經過點M（1，4），且在x=-2取得極值．
（1）求實數a，b的值；
（2）若函數f（x）在區(qū)間（m，m+1）上單調遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將M的坐標代入f（x）的解析式，得到關于a，b的一個等式；求出導函數，根據f′（1）=-2，列出關于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數的單調遞增區(qū)間，據題意知（m，m+1）⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端點的大小，求出m的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的圖象經過點M（1，4），
∴a+b=4    ①式 
f′（x）=3ax²+2bx，
則f′（-2）=0，即-6a+2b=0    ②式
由①②式解得a=1，b=3；
（2）f（x）=x³+3x²，f′（x）=3x²+6x，
令f'（x）=3x²+6x≥0得x≥0或x≤-2，
∵函數f（x）在區(qū)間（m，m+1）上單調遞增
∴（m，m+1）⊆（-∞，-2]∪[0，+∞）
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3．

點評 注意函數在切點處的導數值是曲線的切線斜率；屬于中檔題．