Question

(本小題滿分12分) 求滿足下列條件的橢圓的標準方程．

    （1）焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點；

    （2）經(jīng)過點（2，－3）且與橢圓具有共同的焦點．

 

Answer 1

【答案】

（1） 。(2) 。

【解析】本題主要考查利用橢圓的定義與橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓的標準方程，解決此類問題的步驟是：首先確定標準方程的形式（焦點在x軸還是再y軸上），再根據(jù)條件求出 a，b，然后寫出橢圓的方程，此題屬于基礎(chǔ)題．

（1）當(dāng)所求橢圓的焦點在軸上時，設(shè)它的標準方程為，依題意應(yīng)有代入兩個點的坐標得到求解。

（2）橢圓的焦點坐標為，從而可設(shè)所求橢圓的方程為，然后經(jīng)過點，得方程的求解。

解法1：①當(dāng)所求橢圓的焦點在軸上時，設(shè)它的標準方程為，依題意應(yīng)有，，解得，因為從而方程組無解；

②當(dāng)所求橢圓的焦點在軸上時，設(shè)它的標準方程為，依題意應(yīng)有，解得，所以所求橢圓的標準方程為。

故所求橢圓的標準方程為。

解法2：設(shè)所求橢圓的標準方程為，依題意得，解得，從而所求橢圓的標準方程為。

(2) ∵橢圓的焦點坐標為，從而可設(shè)所求橢圓的方程為，又∵經(jīng)過點，從而得，解得或(舍去)，

故所求橢圓的標準方程為。