Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{3^x}+a}}{{{3^x}+1}}$為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

分析 （1）據(jù)題意，f（x）在原點有定義，并且f（x）為奇函數(shù)，從而有f（0）=0，這樣即可求出a=-1；
（2）可分離常數(shù)得到$f（x）=1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$，設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，便可得出f（x₁）＜f（x₂），從而得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（x）的定義域為R；
∴$f（0）=\frac{1+a}{1+1}=0$；
∴a=-1；
（2）f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}=1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$；
函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)遞增．
理由：設(shè)x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}$；
∴${3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)遞增．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時滿足f（0）=0，以及函數(shù)單調(diào)性的定義．