Question

18．如圖，O為坐標原點，點F為拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點，且拋物線C₁上點M處的切線與圓C₂：x²+y²=1相切于點Q．
（Ⅰ）當(dāng)直線MQ的方程為$x-y-\sqrt{2}=0$時，求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）當(dāng)正數(shù)p變化時，記S₁，S₂分別為△FMQ，△FOQ的面積，求$\frac{S_1}{S_2}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得$\frac{x_0}{p}=1$且${x_0}-\frac{x_0^2}{2p}-\sqrt{2}=0$，即可求得p的值，求得拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求得切線方程，利用點到直線的距離公式可知$x_0^4=4x_0^2+4{p^2}$，將切線方程代入橢圓方程，求得丨PQ丨，分別表示出S₁，S₂，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點$M（{x_0}，\frac{x_0^2}{2p}）$，由x²=2py（p＞0）得，$y=\frac{x^2}{2p}$，求導(dǎo)$y'=\frac{x}{p}$，
而直線MQ的斜率為1，
∴$\frac{x_0}{p}=1$且${x_0}-\frac{x_0^2}{2p}-\sqrt{2}=0$，
解得：$p=2\sqrt{2}$．
∴拋物線的標準方程：x²=4$\sqrt{2}$y；…（4分）
（Ⅱ）因為點M處的切線方程為：$y-\frac{x_0^2}{2p}=\frac{x_0}{p}（x-{x_0}）$，即$2{x_0}x-2py-x_0^2=0$，
根據(jù)切線又與圓相切，得d=r，即$\frac{{|{-x_0^2}|}}{{\sqrt{4x_0^2+4{p^2}}}}=1$，化簡得$x_0^4=4x_0^2+4{p^2}$，
4p²=x₀⁴-4x₀²＞0，解得：丨x₀丨＞2，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{0}x-2py-{x}_{0}^{2}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：Q（$\frac{2}{{x}_{0}}$，$\frac{4-{x}_{0}^{2}}{2p}$），
由丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x_P-x_Q丨=$\sqrt{1+\frac{{x}_{0}^{2}}{{p}^{2}}}$丨x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$丨=$\frac{丨{x}_{0}丨}{2p}$（x₀²-2），
點F（0，$\frac{p}{2}$）到切線PQ的距離d=$\frac{丨-{p}^{2}-{x}_{0}^{2}丨}{\sqrt{4{x}_{0}^{2}+4{p}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，
則S₁=$\frac{1}{2}$丨PQ丨•d=$\frac{丨{x}_{0}^{2}丨}{16p}$（x₀²-2），S₁=$\frac{1}{2}$丨OF丨•丨x_Q丨=$\frac{p}{2丨{x}_{0}丨}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{{x}_{0}^{4}（{x}_{0}^{2}-2）}{8{p}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{4}（{x}_{0}^{2}-2）}{2（{x}_{0}^{4}-4{x}_{0}^{2}）}$=$\frac{{x}_{0}^{2}（{x}_{0}^{2}-2）}{2（{x}_{0}^{2}-4）}$=$\frac{{x}_{0}^{2}-4}{2}$+$\frac{4}{{x}_{0}^{2}-4}$+3≥2$\sqrt{2}$+3，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{x}_{0}^{2}-4}{2}$=$\frac{4}{{x}_{0}^{2}-4}$時，取“=”號，即x₀²=4+2$\sqrt{2}$，此時p=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$，
所以$\frac{S_1}{S_2}$的最小值為$3+2\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，拋物線切線方程的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．