Question

6．過拋物線y²=4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A，C位于x軸同側(cè)，若|AC|=2|AF|，則直線AB的斜率為（　�。�

• A． ±1
• B． $±\sqrt{3}$
• C． ±2
• D． $±\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義可知：|AC|=2|AF|，則∠ACD=$\frac{π}{6}$，則∠CAD=$\frac{π}{3}$，則∠xFB=$\frac{π}{3}$，直線AB的斜率k=tan∠xFB=$\sqrt{3}$，同理即可求得直線AB的斜率-$\sqrt{3}$．

解答 解：拋物線y²=4x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程l：x=-1，準(zhǔn)線l與x軸交于H點(diǎn)，
過A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由拋物線的定義可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，
|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，
則∠ACD=$\frac{π}{6}$，則∠CAD=$\frac{π}{3}$，
∴∠xFB=$\frac{π}{3}$，
則直線AB的斜率k=tan∠xFB=$\sqrt{3}$，
同理可知：直線AB的斜率-$\sqrt{3}$，
∴直線AB的斜率±$\sqrt{3}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．