Question

8．在直角坐標系 xOy中，圓C₁：（x-1）²+（y-2）²=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求C₁的極坐標方程；
（2）若直線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t參數(shù)）與圓C₁的交點為M，N，求△C₁MN的面積（C₁圓心）．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出C₁的極坐標方程．
（2）直線的直角坐標方程為y=x，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=1}\\{y=x}\end{array}\right.$，得M（1，1），N（2，2），再由C₁（1，2），能求出△C₁MN的面積．

解答 解：（1）∵圓C₁：（x-1）²+（y-2）²=1，
∴x²+y²-2x-4y+4=0，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴C₁的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（2）∵直線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t參數(shù)），∴直線的直角坐標方程為y=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=1}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴M（1，1），N（2，2），C₁（1，2），
∴MC₁=1，NC₁=1，MN=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴MC₁²+NC₁²=MN²，∴MC₁⊥NC₁，
∴△C₁MN的面積S=$\frac{1}{2}×M{C}_{1}×N{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查圓的極坐標方程的求法，考查三角形面積的求法，考查極坐標方程、參數(shù)方程、直角坐標方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．