Question

15．一次口試，每位考生要在8道口試題中隨機(jī)抽出2道題回答，若答對(duì)其中1題即為合格．
（1）現(xiàn)有某位考生會(huì)答8題中的5道題，那么，這位考生及格的概率有多大？
（2）如果一位考生及格的概率小于50%，則他最多只會(huì)幾道題？

Answer 1

分析 （1）這位考生及格的對(duì)立事件是抽出的兩道題都不會(huì)，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出這位考生及格的概率．
（2）一位考生及格的概率小于50%，則他不及格的概率大于$\frac{1}{2}$，設(shè)他最多會(huì)n道題，則$\frac{{C}_{8-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$$＞\frac{1}{2}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵一次口試，每位考生要在8道口試題中隨機(jī)抽出2道題回答，答對(duì)其中1題即為合格．
某位考生會(huì)答8題中的5道題，
∴這位考生及格的對(duì)立事件是抽出的兩道題都不會(huì)，
∴這位考生及格的概率p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=1-$\frac{3}{28}$=$\frac{25}{28}$．
（2）一位考生及格的概率小于50%，
則他不及格的概率大于$\frac{1}{2}$，
設(shè)他最多會(huì)n道題，n≤8，
則$\frac{{C}_{8-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$$＞\frac{1}{2}$，
則${C}_{8-n}^{2}$=$\frac{（8-n）（7-n）}{2}$＞14，即n²-15n+28＞0，
解得n＜$\frac{15-\sqrt{113}}{2}$或n＞$\frac{15+\sqrt{113}}{2}$（舍），
∵n∈Z^*，∴n的最大值為2．
∴他最多只會(huì)2道題．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．