Question

函數(shù)f（x）的定義域為R，f（-2）=2013，對任意x∈R都有f′（x）＜2x成立，則不等式f（x）＜x²+2009的解集是（　　）

• A、（-2，2）
• B、（-2，+∞）
• C、（-∞，-2）
• D、（-∞，+∞）

Answer 1

考點：導數(shù)的運算,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x²-2009，利用對任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，即可得出函數(shù)g（x）在R上單調(diào)性，進而即可解出不等式．

解答： 解：令g（x）=f（x）-x²-2009，則g′（x）=f′（x）-2x＜0，
∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減，
而f（-2）=2013，
∴g（-2）=f（-2）-（-2）²-2009=0．
∴不等式f（x）＜x²+2009，可化為g（x）＜g（-2），
∴x＞-2．
即不等式f（x）＜x²+2009的解集為（-2，+∞）．
故選B．

點評：本題主要考查了導數(shù)的應用，恰當構(gòu)造函數(shù)和熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵．