Question

2．如圖，圓錐的軸截面為三角形SAB，O為底面圓圓心，C為底面圓周上一點，D為BC的中點．
（I）求證：平面SBC⊥平面SOD；
（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2$\sqrt{3}$，求該圓錐的側(cè)面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出SO⊥平面OBC，從而SO⊥BC，再求出OD⊥BC，從而BC⊥平面SOD，由此能證明平面SBC⊥平面SOD．
（Ⅱ）求出∠COD=60°，OD=1，OC=2，SO=$\sqrt{3}$，SA=$\sqrt{7}$，由此能求出該圓錐的側(cè)面積．

解答 證明：（Ⅰ）由題意知SO⊥平面OBC，
又BC?平面OBC，∴SO⊥BC，
在△OBC中，OB=OC，CD=BD，
∴OD⊥BC，
又SO∩OD=O，∴BC⊥平面SOD，
又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SOD．
解：（Ⅱ）在△OBC中，OB=OC，CD=BD，
∵∠AOC=60°，∴∠COD=60°，
∵CD=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，∴OD=1，OC=2，
在△SOD中，∠SDO=60°，又SO⊥OD，∴SO=$\sqrt{3}$，
在△SAO中，OA=OC=2，∴SA=$\sqrt{7}$，
∴該圓錐的側(cè)面積為${S}_{側(cè)}=π×OA×SA=2\sqrt{7}π$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查圓錐的側(cè)面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．