Question

8．已知-4＜x＜1，求y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2（x-1）}$的最大值．

Answer 1

分析 令x-1=t（-5＜t＜0），將函數(shù)化簡可得$\frac{（x-1）^{2}+1}{2（x-1）}$=$\frac{1}{2}$（x-1+$\frac{1}{x-1}$）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$），運(yùn)用基本不等式即可得到最大值，求得等號(hào)成立的條件．

解答 解：令x-1=t（-5＜t＜0），
則y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2（x-1）}$=$\frac{（x-1）^{2}+1}{2（x-1）}$
=$\frac{1}{2}$（x-1+$\frac{1}{x-1}$）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$）
=-$\frac{1}{2}$（-t+$\frac{1}{-t}$）≤-$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（-t）•\frac{1}{-t}}$=-1．
當(dāng)且僅當(dāng)t=-1即x=0時(shí)，取得最大值-1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查基本不等式的運(yùn)用，注意滿足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．