Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=4，BC=3，E、F分別是所在棱AB、BC的中點，點P是棱A₁B₁上的動點，聯(lián)結EF，AC₁．如圖所示．
（1）求異面直線EF、AC₁所成角的大小（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）（理科）求以E、F、A、P為頂點的三棱錐的體積．
（文科）求以E、B、F、P為頂點的三棱錐的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線EF、AC₁所成角．
（2）（理科）由

AE

=（0，2，0），

AF

=（-

3

2

，4，0），求出S_△AEF，由此能求出以E、F、A、P為頂點的三棱錐的體積．
（2）（文科）由S_△BEF=

1

2

×BE×BF=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，能求出以E、B、F、P為頂點的三棱錐的體積．

解答： 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
由題意得E（3，2，0），F(xiàn)（

3

2

，4，0），
A（3，0，0），C₁（0，4，4），

EF

=（-

3

2

，2，0），

AC1

=（-3，4，4），
設異面直線EF、AC₁所成角為θ，
則cosθ=|cos＜

EF

，

AC1

＞|
=|

9 2 +8

9 4 +4 • 9+16+16

|=

5 41

41

，
∴θ=arccos

5 41

41

．
（2）（理科）∵

AE

=（0，2，0），

AF

=（-

3

2

，4，0），
∴|

AE

|=2，|

AF

|=

73

2

，
cos＜

AE

，

AF

＞=

8

2× 73 2

=

8 73

73

，
∴sin＜

AE

，

AF

＞=

1-( 8 73 73 )2

=

3 73

73

，
∴S_△AEF=

1

2

×|

AE

|×|

AF

|×sin＜

AE

，

AF

＞=

1

2

×2×

73

2

×

3 73

73

=

3

2

，
∴以E、F、A、P為頂點的三棱錐的體積：
V_P-AEF=

1

3

S△AEF•AA1=

1

3

×

3

2

×4=2．
（2）（文科）∵S_△BEF=

1

2

×BE×BF=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
∴以E、B、F、P為頂點的三棱錐的體積：
V_P-BEF=

1

3

S△BEF•AA1=

1

3

×

3

2

×4=2．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．