在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=4,BC=3,E、F分別是所在棱AB、BC的中點,點P是棱A1B1上的動點,聯(lián)結EF,AC1.如圖所示.
(1)求異面直線EF、AC1所成角的大小(用反三角函數(shù)值表示);
(2)(理科)求以E、F、A、P為頂點的三棱錐的體積.
(文科)求以E、B、F、P為頂點的三棱錐的體積.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角
專題:空間位置關系與距離
分析:(1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出異面直線EF、AC1所成角.
(2)(理科)由
AE
=(0,2,0),
AF
=(-
3
2
,4,0),求出S△AEF,由此能求出以E、F、A、P為頂點的三棱錐的體積.
(2)(文科)由S△BEF=
1
2
×BE×BF
=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
,能求出以E、B、F、P為頂點的三棱錐的體積.
解答: 解:(1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,
建立空間直角坐標系,
由題意得E(3,2,0),F(xiàn)(
3
2
,4,0),
A(3,0,0),C1(0,4,4),
EF
=(-
3
2
,2,0),
AC1
=(-3,4,4),
設異面直線EF、AC1所成角為θ,
則cosθ=|cos<
EF
,
AC1
>|
=|
9
2
+8
9
4
+4
9+16+16
|=
5
41
41

∴θ=arccos
5
41
41

(2)(理科)∵
AE
=(0,2,0),
AF
=(-
3
2
,4,0),
∴|
AE
|=2,|
AF
|=
73
2
,
cos<
AE
,
AF
>=
8
73
2
=
8
73
73
,
∴sin<
AE
AF
>=
1-(
8
73
73
)2
=
3
73
73
,
∴S△AEF=
1
2
×|
AE
|×|
AF
|×sin<
AE
,
AF
=
1
2
×2×
73
2
×
3
73
73
=
3
2
,
∴以E、F、A、P為頂點的三棱錐的體積:
VP-AEF=
1
3
S△AEF•AA1
=
1
3
×
3
2
×4
=2.
(2)(文科)∵S△BEF=
1
2
×BE×BF
=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
,
∴以E、B、F、P為頂點的三棱錐的體積:
VP-BEF=
1
3
S△BEF•AA1
=
1
3
×
3
2
×4
=2.
點評:本題考查異面直線所成角的大小的求法,考查三棱錐的體積的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習冊系列答案
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2
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1
e
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f(x)
x2
,求證:
ln2
24
+
ln3
34
+…+
lnn
n4
1
2e
.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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1
3
sh)

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(2)若存在x∈[
1
2
,2]
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1
2
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