Question

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，到某島進(jìn)行旅游觀光的人數(shù)越來越多，交通問題已成為制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素，因此政府欲在大陸和島嶼之間（如圖）建立一條高速通道以便于大陸和島嶼之間來往，大陸沿海線可近似看作函數(shù)f（x）=a^x（a＞1）的圖象，且正好與直線y=x相切，而島嶼海岸線可近似看作函數(shù)g（x）=log_a（x-3）（a＞1）的圖象．（每單位代表十萬米）
（1）試求a的值及切點坐標(biāo)．
（2）已知建成后的高速通道將開通高鐵，并且高鐵的最高時速不能超過300km/h，試問高鐵能否在半小時內(nèi)穿過高速通道？請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意可設(shè)切點為（x₀，x₀），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切點的斜率，得到切點的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)，得到結(jié)果．
（2）由（1）及f（x）=a^x與函數(shù)y=log_ax互為反函數(shù)，且f（x）與y=x相切，知f（x）=a^x與y=log_ax相切，此時兩曲線只有一個公共點．轉(zhuǎn)化f（x）與g（x）函數(shù)圖象之間的最短距離S大于直線y=x與直線y=x-3之間的距離，然后求解高鐵穿過高速通道時間最小值．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)切點為（x₀，x₀），
則f′（x₀）=ax0ln a=1，
得ax0=

1

lna

，
x₀=log_a（

1

lna

）=-log_a（lna）=

-ln(lna)

lna

，
又因為ax0=x₀，所以

1

lna

=

-ln(lna)

lna

，解得a=e

1

e

，x₀=e，
即切點坐標(biāo)為（e，e）.5分
（2）由（1）及f（x）=a^x與函數(shù)y=log_ax互為反函數(shù)，
且f（x）與y=x相切，知f（x）=a^x與y=log_ax相切，
此時兩曲線只有一個公共點．
而g（x）=log_a（x-3）可由y=log_ax向右平移3個單位而得到，
所以f（x）與g（x）函數(shù)圖象之間的最短距離S大于直線y=x與直線y=x-3之間的距離，
即S＞

|3|

2

=

3 2

2

（十萬米）=

300 2

2

（km）．
所以高鐵穿過通道的時間t＞

300 2 2

300

=

2

2

＞

1

2

．
故高鐵不能在半小時內(nèi)穿過高速通道.12分．

點評：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與方程的思想，實際問題的分析以及解決問題的方法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．