【題目】設函數(shù), ).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調增區(qū)間;

(Ⅱ)當時,記,是否存在整數(shù),使得關于的不等式有解?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)當時, 的單調增區(qū)間為; 時, 的單調增區(qū)間為;(Ⅱ)0.

【解析】試題分析:(Ⅰ)先求函數(shù)的導函數(shù),原函數(shù)的單調增區(qū)間即為使導函數(shù)大于零的區(qū)間,根據(jù)導函數(shù)分段討論 的不同取值范圍時的單調增區(qū)間即可.

(Ⅱ)單調遞增,存在唯一,使得,即,當時, ,當時, ,所以 求得的范圍,得到的范圍,得到最小整數(shù)值.

試題解析:(Ⅰ)

①當時,由,解得;

②當時,由,解得;

③當時,由,解得;

綜上所述,

時, 的單調增區(qū)間為

時, 的單調增區(qū)間為.

(Ⅱ)當時, , ,

所以單調遞增, ,

所以存在唯一,使得,即,

時, ,當時, ,

所以

記函數(shù),則上單調遞增,

所以,即

,且為整數(shù),得,

所以存在整數(shù)滿足題意,且的最小值為0.

點晴:本題主要考查導數(shù)的單調性,導數(shù)與極值點、不等式等知識. 解答此類問題,應該首先確定函數(shù)的定義域,否則,寫出的單調區(qū)間易出錯. 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個轉化:(1)利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題,要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用.(2)將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉化為函數(shù)的單調性問題處理.

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