【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求的極值;

(Ⅱ)若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像在區(qū)間上有公共點,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)極小值為,無極大值.(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)函數(shù)求導,令,求出根,分析其兩側(cè)導數(shù)的符號,確定函數(shù)的極值;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域,根據(jù)(Ⅰ)分類討論函數(shù)在區(qū)間是的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值.

試題解析:

(1)函數(shù)的定義域為, ,令,得,

時, , 是減函數(shù);

時, , 是增函數(shù).

所以當時, 取得極小值,即極小值為,無極大值.

(2)①當,即時,由(1)知, 上是減函數(shù),在上增函數(shù),當時, 取得最小值,即最小值,又當時, ,當時, ,當時, ,所以的圖像與函數(shù)的圖像在區(qū)間上有公共點,等價于,解得,又,所以.

②當,即時, 上是減函數(shù), 上的最小值為,所以,原問題等價于,得,又,所以不存在這樣的實數(shù).綜上知實數(shù)的取值范圍是.

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