【題目】已知函數(shù)，是的導函數(shù).

（1）若，當時，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極大值，求的取值范圍；

（2）若，，試研究的零點個數(shù).

【答案】（1）；（2）有個零點

【解析】

（1）先求導得，再分和兩種情況討論求得的取值范圍；（2）分析可知，只需研究時零點的個數(shù)情況，再分兩種情形討論即可.

（1）當時，，，

在是減函數(shù)，且，，

①，當，時，恒成立，在是增函數(shù)，無極值；

②，當，時，，使得，，，單調(diào)遞增；

，，單調(diào)遞減，為唯一的極大值點，所以

（2），，，，可知，

（i）時，，無零點；所以只需研究，，

（ii）時，，可知單調(diào)遞減，

，，唯一的，；

（iii）當，是減函數(shù)，且，，

則，，在是增函數(shù)，是減函數(shù)，并且，，，

所以，；，，且知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又因為，，，所以，，

，，綜上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列和滿足若為等比數(shù)列，且

（1）求和；

（2）設，記數(shù)列的前項和為

①求；

②求正整數(shù) k，使得對任意均有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知km,,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm．

（I）按下列要求寫出函數(shù)關系式：

①設，將表示成的函數(shù)關系式；

②設，將表示成的函數(shù)關系式．

（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值；

（2）若存在，，使，且，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，四邊形為菱形．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，是的導函數(shù).

（1）若，當時，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極大值，求的取值范圍；

（2）若，，試研究的零點個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和的直角坐標方程；

（2）已知曲線的極坐標方程為，點是曲線與的交點，點是曲線與的交點，、均異于原點，且，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，底面為等邊三角形，E，F分別為，的中點，，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的左右焦點分別為，的周長為12．

（1）求點的軌跡的方程．

（2）已知點，是否存在過點的直線與曲線交于不同的兩點，使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．

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