Question

【題目】已知函數(shù)，是的導函數(shù).

（1）若，當時，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極大值，求的取值范圍；

（2）若，，試研究的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）有個零點

【解析】

（1）先求導得，再分和兩種情況討論求得的取值范圍；（2）分析可知，只需研究時零點的個數(shù)情況，再分兩種情形討論即可.

（1）當時，，，

在是減函數(shù)，且，，

①，當，時，恒成立，在是增函數(shù)，無極值；

②，當，時，，使得，，，單調(diào)遞增；

，，單調(diào)遞減，為唯一的極大值點，所以

（2），，，，可知，

（i）時，，無零點；所以只需研究，，

（ii）時，，可知單調(diào)遞減，

，，唯一的，；

（iii）當，是減函數(shù)，且，，

則，，在是增函數(shù)，是減函數(shù)，并且，，，

所以，；，，且知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又因為，，，所以，，

，，綜上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有個零點.