【題目】已知拋物線方程為x2=2py(p>0),其焦點為F,點O為坐標(biāo)原點,過焦點F作斜率為k(k≠0)的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B兩點分別作拋物線的兩條切線,設(shè)兩條切線交于點M.
(1)求 ;
(2)設(shè)直線MF與拋物線交于C,D兩點,且四邊形ACBD的面積為 ,求直線AB的斜率k.
【答案】
(1)解:設(shè)直線AB方程為 ,
聯(lián)立直線AB與拋物線方程
,得x2﹣2pkx﹣p2=0,
則x1+x2=2pk,x1x2=﹣p2,
可得 =x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+(kx1+ )(kx2+ )
=(1+k2)x1x2+ + (x1+x2)
=(1+k2)(﹣p2)+ + 2pk=﹣ p2
(2)解:由x2=2py,知 ,
可得曲線在A,B兩點處的切線的斜率分別為 ,
即有AM的方程為 ,BM的方程為 ,
解得交點 ,
則 ,知直線MF與AB相互垂直.
由弦長公式知,|AB|=
= =2p(1+k2),
用 代k得, ,
四邊形ACBD的面積 ,
依題意,得 的最小值為 ,
根據(jù) 的圖象和性質(zhì)得,k2=3或 ,
即 或
【解析】(1)設(shè)出直線AB的方程,代入拋物線的方程,運用韋達(dá)定理和點滿足直線方程,由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡即可得到所求值;(2)求得切線的斜率和切線的方程,運用弦長公式,可得|AB|,|CD|,求得四邊形ABCD的面積,運用對勾函數(shù)的性質(zhì),解方程可得k的值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、PA、PBC分別為⊙O的切線和割線,切點A是BD的中點,AC、BD相交于點E,AB、PE相交于點F,直線CF交⊙O于另一點G、交PA于點K.
證明:(1)K是PA的中點;(2)..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】f(x)= .
(1)用直尺或三角板畫出y=f(x)的圖象;
(2)求f(x)的最小值和最大值以及單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中在 上為減函數(shù)的是( )
A.y=2cos2x﹣1
B.y=﹣tanx
C.
D.y=sin2x+cos2x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4﹣1:平面幾何
如圖AB是⊙O的直徑,弦BD,CA的延長線相交于點E,EF垂直BA的延長線于點F.
(1)求證:∠DEA=∠DFA;
(2)若∠EBA=30°,EF= ,EA=2AC,求AF的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,是兩條不同直線,,是兩個不同平面,則下列命題正確的是 ( )
A. 若,垂直于同一平面,則與平行
B. 若,則
C. 若,不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線
D. 若,不平行,則與不可能垂直于同一平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)圖象上任意一點,且y02≥x02,則f(x)的解析式可以是_____.(填序號)
①f(x)=x﹣②f(x)=ex﹣1(e≈2.718,是一個重要常數(shù))③f(x)=x+④y=x2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)判斷的單調(diào)性并用定義證明;
(3)已知不等式恒成立, 求實數(shù)的取值范圍.
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