Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow$=（2，x），若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{2}$，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=6$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的等價條件求出x，結(jié)合向量的模長公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{2}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
∵$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow$=（2，x），
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（x+4，2+2x），2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（2x+2，x+4），
則（x+4）（2+2x）+（2x+2）（x+4）=0，
即2（x+4）（2+2x）=0，
則x=-4或x=-1，
若x=-4，則$\overrightarrow{a}$=（-4，2），$\overrightarrow$=（2，-4），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-6，6），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
若x=-1，則$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow$=（2，-1），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-3，3），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
故答案為：6$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$，

點評 本題主要考查平面向量的應(yīng)用，根據(jù)向量的垂直關(guān)系求出x的值，結(jié)合向量的模長公式進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵．