Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）圖象上有兩點A（m₁，f（m₁））、B（m₂，f（m₂））滿足f（1）=0，且a²+（f（m₁）+f（m₂））a+f（m₁）f（m₂）=0．
（Ⅰ）求證：b≥0；
（Ⅱ）問：能否保證f（m_?+3）（?=1，2）中至少有一個為正數(shù)？請證明你的結論．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）由已知可得[a+?（m₁）]•[a+?（m₂）]=0，則?（m₁）=-a或?（m₂）=-a，故△=b²-4a（a+c）≥0，結合f（1）=0，a＞b＞c，可得b≥0；
（Ⅱ）（II）設?（x）=ax²+bx+c=0的兩根分別為x₁、x₂，顯然其中一根為1，另一根為

c

a

，結合（I）中結論，可得?（m₁）=-a時，m₁+3＞

c

a

+3＞1．結合?（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，同理，當?（m₂）=-a時有?（m₂+3）＞0，進而得到答案．

解答： 證明：（I）∵?（m₁），?（m₂）滿足方程a²+（f（m₁）+f（m₂））a+f（m₁）f（m₂）=0，
即[a+?（m₁）]•[a+?（m₂）]=0，
∴?（m₁）=-a或?（m₂）=-a…（2分）
∴m₁或m₂是方程a²+（?（m₁）+?（m₂））a+?（m₁）+?（m₂）=0的實根，
∴△=b²-4a（a+c）≥0，即b²≥4a（a+c）．…（3分）
∵?（1）=0，
∴a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0且b=-a-c，…（5分）
∴b²-4ab，即b（b+4a）≥0，
∴a＞0，c＜0，
∴3a-c＞0，
∴b≥0．…．（6分）
（II）設?（x）=ax²+bx+c=0的兩根分別為x₁、x₂，
顯然其中一根為1，另一根為

c

a

…（7分）
∴a＞0，c＜0，
∴

c

a

＜1．
∵a＞b＞c，且b=-a-c
∴a＞-a-c＞c．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴

3

2

＜|x₁-x₂|=1-

c

a

＜3…．（9分）
設?（x）=a（x-x₁） （x-x₂）=a（x-1）（x-

c

a

）．…．（10分）
由已知?（m₁）=-a或?（m₂）=-a，不妨設?（m₁）=-a，
則a（m₁-1）（m₁-

c

a

）=-a＜0…（11分）
∴

c

a

＜m₁＜1，
∴m₁+3＞

c

a

+3，…（12分）
∴m₁+3＞1．又?（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴?（m₁+3）＞?（1）=0．…（13分）
同理，當?（m₂）=-a時有?（m₂+3）＞0
∴?（m₁+3）或?（m₂+3）中至少有一個正數(shù)．…（14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，參數(shù)范圍的討論與求解，轉(zhuǎn)化困難，難度較大．