Question

12．如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，將△ABD沿對(duì)角線BD向上翻折，若翻折過程中AC長(zhǎng)度在[$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$]內(nèi)變化，則點(diǎn)A所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為$\frac{\sqrt{3}π}{12}$．

Answer 1

分析 過A作BD的垂線AE，則A點(diǎn)軌跡是以E為圓心的圓弧，以E為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)二面角A-BD-A′的大小為θ，用θ表示出A和C的坐標(biāo)，利用距離公式計(jì)算θ的范圍，從而確定圓弧對(duì)應(yīng)圓心角的大小，進(jìn)而計(jì)算出圓弧長(zhǎng)．

解答 解：過A作AE⊥BD，垂足為E，連接CE，A′E．
∵矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴A點(diǎn)的軌跡為以E為圓心，以$\frac{\sqrt{3}}{2}$為半徑的圓�。�
∠A′EA為二面角A-BD-A′的平面角．
以E為原點(diǎn)，以EB，EA′，EA為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，
設(shè)∠A′EA=θ，則A（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），C（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）
∴AC=$\sqrt{1+\frac{3}{4}（cosθ+1）^{2}+\frac{3}{4}si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{\frac{5+3cosθ}{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{2}≤$$\sqrt{\frac{5+3cosθ}{2}}$$≤\frac{\sqrt{13}}{2}$，
解得0≤cosθ≤$\frac{1}{2}$，
∴60°≤θ≤90°，
∴A點(diǎn)軌跡的圓心角為30°，
∴A點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為$\frac{π}{6}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}π}{12}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{12}π$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間距離的計(jì)算，建立坐標(biāo)系用θ表示出AC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．