Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），其焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，直線l與拋物線C相交于不同于原點的兩點A，B．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若以AB為直徑的圓恒過原點O，求證：直線l過定點；
（3）若直線l過拋物線C的焦點F，求△OAB面積的取值范圍（O為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

分析 （1）焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，可得p=2．即可得出拋物線C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：x=my+t（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立化為：y²-4my-4t=0，由以AB為直徑的圓恒過原點O，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得t，即可得出．
（3）由直線l過拋物線C的焦點F，設(shè)直線l的方程為：x=my+1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立化為：y²-4my-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．△OAB面積S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|．

解答 （1）解：∵焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，∴p=2．
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè)直線l的方程為：x=my+t（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-4my-4t=0，
△＞0，∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t．
∵以AB為直徑的圓恒過原點O，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
又x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t），
∴（m²+1）•y₁y₂+mt（y₁+y₂）+t²=0，
∴-4t（m²+1）+4m²t+t²=0，
化為t²-4t=0，t≠0，
解得t=4．
∴直線l的方程為：x=my+4．
令y=0，可得x=4．因此直線l恒過定點（4，0）．
（3）解：直線l過拋物線C的焦點F，設(shè)直線l的方程為：x=my+1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-4my-4=0，
△＞0，∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴△OAB面積S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×1×$4$\sqrt{{m}^{2}+1}$=2$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥2．當(dāng)且僅當(dāng)m=0，即l⊥x軸時，取得最小值2．
∴△OAB面積的取值范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計算公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．