Question

已知函數f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞1），求：
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）證明f（x）是R上的增函數；
（3）求該函數的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的值域,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數的奇偶性；
（2）根據指數函數的單調性的性質即可證明f（x）是R上的增函數；
（3）根據指數函數的性質即可求該函數的值域．

解答： 解：（1）函數的定義域為R，
則f（-x）

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x），
則函數f（x）是奇函數；
（2）f（x）=

ax-1

ax+1

=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
∵a＞1，∴a^x是增函數，a^x+1是增函數，
則

2

ax+1

是減函數，-

2

ax+1

為增函數，
即f（x）=1-

2

ax+1

為增函數，
即f（x）是R上的增函數；
（3）∵f（x）=

ax-1

ax+1

=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，a＞1，
∴a^x+1＞1，0＜

1

ax+1

＜1，0＜

2

ax+1

＜2，
-2＜-

2

ax+1

＜0，-1＜1-

2

ax+1

＜1，
即-1＜y＜1，
故函數的值域為（-1，1）．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，根據指數函數的性質是解決本題的關鍵．