Question

16．計算定積分${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$+x）dx（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$+4
• B． π+2
• C． $\frac{π}{2}$+2
• D． π+4

Answer 1

分析 根據積分的幾何意義以及常見函數的積分公式進行計算即可．

解答 解：${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx
設y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，則y²=2x-x²，
即（x-1）²+y²=1，（0≤x≤2，y≥0），
則y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，表示圓心為（1，0），半徑為1的圓的上半部分，對應的面積S=$\frac{1}{2}×π×{1}^{2}$=$\frac{π}{2}$，
即${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，${∫}_{0}^{2}$xdx=$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×{2}^{2}=\frac{1}{2}×4=2$，
則${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx=$\frac{π}{2}$+2，
故選：C

點評 本題主要考查積分的計算，根據積分的幾何意義以及函數的積分公式是解決本題的關鍵．