Question

8．復(fù)數(shù)z=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$，i是虛數(shù)單位，則z²⁰¹⁵=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-i）．

Answer 1

分析 通過計(jì)算出z²、z³、…、z⁹的值得出規(guī)律：z^t=z^8k+t（k、t∈N^*），進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵z=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+i），
∴z²=$\frac{1}{2}$（1+2i+i²）=i，
z³=z²•z=i•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+i）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-1+i），
z⁴=（z²）²=-1，
z⁵=z⁴•z=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+i），
z⁶=z⁴•z²=-i，
z⁷=z³•z⁴=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-i），
z⁸=z²•z⁶=1，
z⁹=z•z⁸=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+i），
∴z^t=z^8k+t（k、t∈N^*），
∵2015=251×8+7，
∴z²⁰¹⁵=z⁷=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-i），
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-i）．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．