Question

1．已知函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，f（x）的圖象在y軸上的截距為2，其相鄰兩對稱軸間的距離為1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（　�。�

• A． 0
• B． 100
• C． 150
• D． 200

Answer 1

分析 由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出ω，由圖象在y軸上的截距為2求出φ的值，再利用函數(shù)的周期性求出所給式子的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1=A•$\frac{1+cos（2ωx+2φ）}{2}$+1=$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ）+$\frac{2+A}{2}$ 的最大值為3，
∴$\frac{A}{2}$+$\frac{2+A}{2}$=3，∴A=2．
f（x）的圖象在y軸上的截距為2，可得cos2φ+2=2，即 cos2φ=0，
∴可取φ=$\frac{π}{4}$．
再根據(jù)它的圖象相鄰兩對稱軸間的距離為1，可得它的周期為$\frac{2π}{2ω}$=2，求得ω=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=cos（πx+$\frac{π}{2}$）+2=sinπx+2，
故f（1）=2，f（2）=2，f（3）=2，…，（100）=2，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=200，
故選：D．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出ω，由圖象在y軸上的截距為2求出φ的值，利用函數(shù)的周期性求式子的值，屬于基礎(chǔ)題．