【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F(xiàn)分別是BC,PC的中點. (I)證明:AE⊥PD;
(II)H是PD上的動點,EH與平面PAD所成的最大角為45°,求二面角E﹣AF﹣C的正切值.

【答案】證明:(Ⅰ)由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°, 得△ABC為正三角形,因為E為BC的中點,所以AE⊥BC,
又BC∥AD,因此AE⊥AD,
因為PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE,
而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD,又PD平面PAD,所以AE⊥PD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE⊥平面PAD,
∴∠AHE是EH與平面PAD所成的角,
由于AE為定值,∴當(dāng)AH最小時,∠AHE最大
此時AH⊥PD,∠AHE=45°
設(shè)AB=2a,則AE= ,AH=AE= ,
,∴ADPA=PDAH,2a ,
∴PA=2 ,
、 為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,2 ),E( ,0,0),C( ,a,0),F(xiàn)( , ),
設(shè)平面AFC的一個法向量為 =(x,y,z),則 ,
,取x=1,得 =(1,﹣ ,0),
設(shè)平面AEF的一個法向量為 =(x,y,z),則 ,
,取z=1,得 =(0,﹣2 ,1),
cos< >= = = ,
tan< >= = ,
∴二面角E﹣AF﹣C的正切值為

【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出△ABC為正三角形,從而AE⊥BC,推導(dǎo)出AE⊥AD,PA⊥AE,由此能證明AE⊥PD. (Ⅱ)推導(dǎo)出∠AHE是EH與平面PAD所成的角,當(dāng)AH最小時,∠AHE最大,此時AH⊥PD,∠AHE=45°,以 、 為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的正切值.
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點,需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)的一段圖象如圖5所示:將的圖像向右平移個單位,可得到函數(shù)的圖象,且圖像關(guān)于原點對稱,

(1)求的值;

(2)求的最小值,并寫出的表達(dá)式;

(3)若關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上最小值為,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將邊長為1的正方形沿對角線折起,使得平面平面,在折起后形成的三棱錐中,給出下列三種說法:

是等邊三角形;②;③三棱錐的體積是.

其中正確的序號是__________(寫出所有正確說法的序號).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】正方體中,點在線段上運(yùn)動(包括端點),則所成角的取值范圍是_______

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,,,平面底面,.分別是的中點,求證:

(Ⅰ)底面;

(Ⅱ)平面;

(Ⅲ)平面平面.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知各項為正的數(shù)列滿足: , .

1)求;

2)證明: );

3)記數(shù)列的前項和為,求證: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x﹣a|,a∈R. (Ⅰ)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)<4的解集.
(Ⅱ)當(dāng)a< 時,對于x∈(﹣∞,﹣ ],都有f(x)+x≥3成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿足,且為偶函數(shù),若內(nèi)單調(diào)遞減,則下面結(jié)論正確的是( )

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列推理過程不是演繹推理的是( ).

①一切奇數(shù)都不能被2整除,2019是奇數(shù), 2019不能被2整除

由“正方形面積為邊長的平方”得到結(jié)論:正方體的體積為棱長的立方;

在數(shù)列中,,,由此歸納出的通項公式;

由“三角形內(nèi)角和為”得到結(jié)論:直角三角形內(nèi)角和為 .

A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ②④

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案