(本題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+b(a,b∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率是3,求a,b的值;
(2)若f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù),求a的取值范圍.
解:(1)由函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn),得b="0," ………………………………1分
又f′(x)=3x2+2ax+(a+6), …………………………………………………3分
f(x)在原點(diǎn)處的切線斜率是3,則a+6=3,所以a="-3." ………………………6分
(2)若f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù),則f′(x) 在R上恒成立.
即3x2+2ax+(a+6)≥0在R上恒成立,………………………………………8分
因此Δ≤0,有4a2-12(a+6) ≤0 ………………………………………10分
即a2-3a-18 ≤0解得……………………………………………12分
解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)P(1,2)與函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為8,建立關(guān)于a和b的方程組,解之即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f'(x),f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)則令f'(x)0即可求出a的范圍.
考點(diǎn):本試題主要考查了導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識,同時考查了分析與解決問題的綜合能力,屬于基礎(chǔ)題。
點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵對于導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用和單調(diào)遞增時要滿足到導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零來得到。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知,其中
是自然對數(shù)的底數(shù),
(1)討論時,
的單調(diào)性。
(2)求證:在(1)條件下,
(3)是否存在實(shí)數(shù),使
得最小值是3,如果存在,求出
的值;如果不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)是
的一個極值點(diǎn).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若當(dāng)時,
恒成立,求
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知a∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2ax+a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)0≤x≤1時,f(x)+|2-a|>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù),且對于任意實(shí)數(shù)
,恒有
.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)函數(shù)有幾個零點(diǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),
(1)若函數(shù)在
處與直線
相切;
①求實(shí)數(shù)的值;②求函數(shù)
上的最大值;
(2)當(dāng)時,若不等式
對所有的
都成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分16分)設(shè)
(1)請寫出的表達(dá)式(不需證明);
(2)求的極值
(3)設(shè)的最大值為
,
的最小值為
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求
的極值;
(2)當(dāng)時,試比較
與
的大;
(3)求證:(
).
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